1.1.3 集合的基本运算
2016-05-24 19:18:33 来源: 评论:0 点击:
1.理解两个集合的并集与交集、补集的含义,掌握求两个简单集合的交集与并集的方法,会求给定子集的补集。
2.借助Venn图理解集合的基本运算。体会直观图示对理解抽象概念的作用,培养数形结合的思想。
课本从学生熟悉的集合出发,结合实例,通过类比实数加法运算引入集合间的运算,同时,结合相关内容介绍介绍子集和全集等概念。充分利用图形的直观作用,帮助学生理解补集的概念,并能用直观图进行求补集运算。
教学重点:交集与并集,全集与补集的概念。
教学难点:理解交集与并集的概念,以及符号之间的区别与联系。
1.理解两个集合的交集和并集;
2.借助数轴或Venn图求交集和并集。
交集与并集的概念
理解交集与并集的概念,以及符号之间的区别与联系
1.全集和补集的概念和求法;
2.借助数轴或Venn图进行集合的补集运算。
全集和补集的概念和求法
借助数轴或Venn图进行集合的补集运算
一、课题引入
1、通过问题1:
在不同范围研究同一个问题,可能有不同的结果。
如方程(x-2)(x2-3)=0的解集, 在有理数范围内只有一个解,即A={x∈Q|(x-2)(x2-3)=0}={2},
在实数范围内有三个解, 即B={x∈R|(x-2)(x2-3)=0}={2, }。
引入全集概念;
定义:如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素,就称这个集合为全集(universeset)全集常用U表示.
►注意:全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念,它含有与所研究问题有关的各个集合的 全部元素.因此全集因问题而异. 在研究数集时,常常把实数集看作全集.引入全集概念;
2、通过问题2:
观察下列三个集合: U={高一年级的同学}
A={高一年级参加军训的同学} B={高一年级没有参加军训的同学}
问:这三个集合之间有何关系? 引入补集概念。
定义:对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set),简称为集合A的补集.
►注意:研究补集必须是在全集的条件下研究,而全集因研究问题不同而异引入补集概念。
二、新知探究
借助venn图和学生共同探讨补集的性质。
补集可以看成是集合的又一种“运算”, 它具有以下性质:
若全集为U,AÍU,则 1.∁UU=∅; 2.∁U(∁UA)=A; 3. A∪(∁UA)=U ; 4. A∩(∁UA) =∅ ;
5. ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB) ; 6. ∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB) .
(组织学生充分讨论,交流,渗透数形结合数学方法的应用)
三、典例精析
类型一:求补集问题
【例1】 设U={x|-5≤x<-2,或2<x≤5,x∈Z},A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},求∁UA、∁UB. (让学生明确全集中的元素,回顾补集的定义,依据补集的定义求补集);
类型二: 交、并、补的综合运算
【例2】 已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3}, 集合B={x|-3<x≤3}. 求∁UA,A∩B,∁U(A∩B),(∁UA)∩B.
类型三:利用Venn图求解问题
【例3】 设U为全集,M,P,N是U的三个子集,则图中阴影部分表示的集合是( )
(A)(M∩P)∩N (B)(M∩P)∪N
(C)(M∩P)∩(∁UN) (D)(M∩P)∪(∁UN)
类型四:补集思想的应用
【例4】 已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0},B={x|x<0},若A∩B≠∅,求实数m的取值范围.
四、巩固练习
例1变式训练:1. 设U=R,A={x|a≤x≤b},∁UA={x|x>4或x<3},求a,b的值.
2. 已知全集U={1,2,3,4,5},A={x|x2-5x+q=0,x∈U},求∁UA;
3. 设U={2,3, a 2+2a-3},A={b,2},∁UA={5},求实数a和b的值.
例2变式训练:1. 已知集合A={x|x< a},B={x|1<x<2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围( )
A. a≤2 B. a<1 C. a≥2 D. a>2
2.已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤2},B={x|4x+p<0},且B⊆∁UA,求实数p的取值范围.
3.设全集U=R,A={x|3m-1<x<2m},B={x|-1<x<3},B⊆(∁UA),求m的取值范围.
例3变式训练: 1:设U为全集,集合A,B是其子集,则图中阴影部分表示的集合为( )
A. A∪(∁UB) B. A∩(∁UB) C. ∁UB D. (∁UA)∩(∁UB)
2.图中阴影部分可用集合M、P表示为( )
A.(M∩P)∪(M∪P) B.[(∁UM)∩P]∪[M∩(∁UP)]
C.M∩∁U(M∩P) D.P∪∁U(M∩P)
3.如图有全集I及集合A、B、C,则阴影部分可用集合的运算表示为____________________.
例4变式训练:已知关于x的方程x2-2x-(m-2)=0与x2+mx+14m2+m+2=0,若这两个方程至少有一个方程有实数解,求实数m的取值范围.
► ( 讲练结合,从概念到学生易错问题加强渗透和练习,从而逐步突破难点)
五、创新探究
例:我们知道,如果集合A⊆U,那么U的子集A的补集为∁UA={x|x∈U,且x∉A}, 类似地,对于集 合A、B,我们把集合{x|x∈A,且x∉B}叫做A与B的差集, 记作A-B,例如A={1,2,3,5,8},B={4,5,6,7,8},则A-B={1,2,3},B-A={4,6,7}. 据此,回答以下问题:
(1)补集与差集有什么异同点?
(2)若U是高一(1)班全体同学组成的集合,A是高一(1)班全体女同学组成的集合, 求U-A及∁UA.
(3)在下列各图中,用阴影表示集合A-B.
(4)如果A-B=∅,那么A与B之间具有怎样的关系?
► (进一步加深学生对补集概念的理解)
六、课堂小结
1.全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念,它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素,因此全集因问题而异.
2.补集与全集密不可分.
同一集合在不同全集下的补集是不同的,
同一集合在不同全集下的补集是不同的, 一个集合与它的补集是互为补集的关系;
补集也是一种思想,是一种思考和处理问题的思维方式.
七、课后作业
课本p12A组第9、10题.B组第4题
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