2.1.2 指数函数及其性质
2016-05-29 18:51:12 来源: 评论:0 点击:
知识与技能:理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象和性质,培养学生实际应用函数的能力。
过程与方法:通过观察图象,分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质。领会数形结合的数学思想方法,培养学生发现、分析、解决问题的能力。
情感态度与价值观:在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值,培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
学生已经学习了函数的知识,,指数函数是函数知识中重要的一部分内容,学生若能将其与学过的正比例函数、一次函数、二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、性质、图象,则一定能从中发现指数函数的本质,所以对已经熟悉掌握函数的学生来说,学习本课并不是太难。
学生通过对高中数学中函数的学习,对解决一些数学问题有一定的能力。通过教师启发式引导,学生自主探究完成本节课的学习。
本节内容思维量较大,对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求,但学生在探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡,所以学生学习起来有一定难度。
教学重点:指数函数的概念、图象和性质。指数函数是在学生系统学习了函数概念,基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的,它是重要的基本初等函数之一。作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础;同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以指数函数应重点研究。
教学难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。指数函数是学生完全陌生的一类函数, 对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的难题
问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 x次后,得到的细胞分裂的个数 y与 x之间,构成一个函数关系,能写出 x与 y之间的函数关系式吗? y与 x之间的关系式,可以表示为y=2x 。
问题2:折纸问题:让学生动手折纸 观察:①对折的次数x与所得的层数y之间的关系,得出结论y=x2 ②对折的次数x与折后面积y之间的关系(记折前纸张面积为1), 得出结论y=(12 )x
引导学生观察,两个函数中,底数是常数,指数是自变量。以上都是形如y=ax (a>0且a≠1)的函数,定义域为x∈R。
为什么规定“a>0且a≠1 ”,如果不这样规定会出现什么情况?
(1)若a<0会有什么问题?(如a=-2,x=12 , 则在实数范围内相应的函数值不存在)
(2)若a=0会有什么问题?(对于x≤ 0 , ax 无意义)
(3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论x取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 为了避免上述各种情况的发生,所以规定a>0且a≠ 1
给出指数函数的概念
一般地,函数 y=ax(a>0且a≠ 1) 叫做指数函数,其中 x是自变量,函数的定义域是R
问题1:指出下列函数那些是指数函数:
(1)y=4x ,(2)y=x4 ,(3)y=-4x ,(4)y=(−4)x ,(5)y=(Π)−x
(6)y=42x ,(7)y=xx ,(8)y=(2a−1)x (a>12 且a≠1 )
说明:1)ax 的前面系数为1, 2)a>0且a≠1, 3)自变量x在指数位置
落实掌握:若函数y=(a2 -3a+3) ax 是指数函数,求a值。
指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数,所以在这部分的安排上,我更注意学生思维习惯的养成,即应从哪些方面,哪些角度去探索一个具体函数,我在这部分设置了两个环节。
第一环节:分三步
(1)让学生作图 (2)观察图像,发现指数函数的性质 (3)归纳整理
学生课前准备:利用描点法作函数y=2x ,y=3x ,以及y=(12 )x 、y=(13 )x 的图像。
第二环节:
利用多媒体教学手段,通过几何画板演示底数a 取不同的值时,让学生观察函数图像的变化特征,归纳总结:y=ax 的图像与性质
通过数形结合,利用几个底数特殊的指数函数的图像将本节课难点突破。
为帮助学生记忆,用一句精彩的口诀结束性质的探究:
左右无限上冲天,永与横轴不沾边。 大1增,小1减,图像恒过(0,1)点。
例1:已知指数函数f(x)=ax (a>0 且a≠1 )的图像经过点(3,Π ),求f(0),f(1),f(-3)的值
例2:比较下列各题中两值的大小
(1)1.72.5 与1.73 ,(2)0.8−0.1 与0.8−0.2 ,(3) a13 与a12 (a>0 且a≠1 )
(4)1.70.3 与0.93.1
教师引导学生观察这些指数值的特征,思考比较大小的方法:
(1)(2),(3)三题底相同,指数不同,可以利用指数函数的单调性比较大小。
(4)题底不同,指数也不同,可以借助中间值比较大小。
请学生从知识和方法上谈谈对这一节课的认识与收获。
1、知识上:学习了指数函数的定义、图像和性质以及应用。关键要抓住底数a>1 和1>a>0时函数图像的不同特征和性质是学好本节的关键。
2、方法上:经历从特殊→一般→特殊的认知过程,从观察中获得知识,同时了解指数函数的实际背景和和研究函数的基本方法;体会分类讨论思想、数形结合思想。
1,求下列函数的定义域
(1)y=23−x ,(2)y=32x+1 ,(3)y=(12 )5x ,(4)y=0.71x
2,.比较下列各题中两个数的大小
(1)30.8 , 30.7 (2) 0.750.1 ,0.75−0.1
(3)1.012.7 ,1.013.5 (4)0.993.3 ,0.99,4.5
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