阅读与思考 中外历史上的方程求解1
2016-06-06 21:21:48   来源：   评论：0 点击：

（一）知识回顾，巩固训练

题1．求下列函数的零点：

（1） ；    （2） 。

答：（1）– 2；（2）– 1，3。

说明：（1）零点不是一个点，也不是 ，而是使 的实数 。

（2）当对应方程易解时，可通过解方程直接求出零点。

归纳1：（1）函数零点的定义：对于函数 ，我们把使 的实数 叫做函数 的零点。

（2）方程的根与函数零点的关系：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点。

题2．若函数 没有零点，则实数 的取值范围是（    ）

A．       B．       C．       D．

解析：由题意，函数 没有零点，即方程 无解，即方程的判别式小于零，解不等式 ，得 ，答案为B。

归纳2：二次函数 的零点与二次方程 的根的关系（设判别式 ）：

二次方程

有两个不等的实数根 ，

有两个相等的实数根

没有实数根

二次函数的图象

与 轴有两个交点 ，

与 轴有唯一交点

与 轴没有交点

二次函数的零点

有两个零点 ，

有一个零点

没有零点

题3．（1）已知定义在 上的连续函数 的部分自变量和函数值对应如下：

1

2

3

4

5

6

– 4

– 1.3609

1.0986

3.3863

5.6094

7.7915

根据上表写出 的实数解所在的一个区间为（    ）

A．（1，2）    B．（2，3）    C．（1，2）或（2，3）都可以   D．不能确定

解析： ， ，由 知方程 在区间（2，3）内有解，选B。

题3．（2）函数 的零点所在的区间为（    ）

A．         B．         C．         D．

解析：因为选项中只有 ，所以函数的零点所在的区间为 ，选C。

归纳3：函数零点的判定（零点存在性定理）：

如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的根。

问题1：函数零点的存在性定理的作用是什么？

答：确定零点所在区间。

问题2：对于区间 上的连续函数 ，若 是 的零点，是否一定有 ？

答：否， 仅是 在 上存在零点的充分条件，而不是必要条件。

问题3：若 ，在什么条件下可以得出 在 上有唯一零点？

答：函数 是连续的，且在区间 上单调。

题4．（1）函数 的零点个数是（    ）

A．1        B．2        C．3        D．4

解析：函数 与 的图象如图，当 时， ， ；当 时， ，而 ，结合函数图象可知两个函数的图象只能有3个交点，即函数 有3个零点。

题4．（2） 是函数 的零点，若 ，则 的值满足（    ）

A．     B．     C．     D． 的符号不确定

解析：函数 在 上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数的单调递增性（如图），在 上这个函数的函数值小于零，即 。

归纳4：判断函数零点的个数，一般通过画函数的图象，观察图象的交点个数，即可得函数零点的个数。

注：在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零．

【设计意图】（1）传统的复习课中，教师总是先进行知识梳理，把一些枯燥的知识内容放电影式地展现，在展示的过程中，学生已经昏昏欲睡；本课题以问题带动思考，引出相关的要复习的知识点，在解决问题的过程中重温了核心数学概念与方法，对于激发学生的学习兴趣及扎实基础有较大的帮助。

（2）问题由浅入深，逐层递进，要求学生独立思考、合作探究后加以解答，并提炼出相关数学知识，把课堂真正“还”给了学生，教师引领学生主动思考问题，在与学生的深层次交流中碰撞出思维的火花。

（二）要点探究，能力提升

例1：已知函数 。

（1）试确定函数 的零点个数；

（2）若方程 有3个解，求实数 的取值范围。

思路分析：（1）直接解方程；（2）画出函数 与 的图象，观察交点；（3）利用导数研究函数的性质（单调性、极值等，从而作出函数的大致图象）。其中（3）为通性通法，具体的解答如下：

解：（1） ，由 得 或 ，

于是 、 随 的变化情况如下表：

↗

极大值4

↘

极小值0

↗

由表可知，函数 在 为增函数，在 为减函数，在 为增函数；

当 时， 取极大值4，当 时， 取极小值0；

∵ ， ，∴函数 在 上有一个零点，而 是 在 上的另一个零点；∴函数 恰有2个零点。

（2） ， ，

∵方程 有3个解，即函数 与函数 的图象有3个交点，由（1）及函数 的图象可得 。

例2：已知函数 ，其中 。

（1）当 时，若 的定义域为 ，求实数 的取值范围；

（2）判断当 时，函数 在 内是否存在零点。

解：（1）函数 的定义域为 对任意 恒成立，

设 ，则 ， ， ，

所以 在 递增，在 递减，当 时， 取极小值也就是最小值 ；当 时， ，∴ 的值域为 ；

∵对任意 ， ，∴ ，解得 。

（2）∵ ，∴ ，又 ，

∵ ，∴ ，当 时， ，

∴函数 在 上为增函数；

设 ，则 ，

∵ ，∴ ，∴函数 在 上为增函数，

∴ ，即 ，

于是 ，∴函数 在 内仅有一个零点。

【设计意图】利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点（方程是否存在实根）进行判断或利用零点（方程实根）的存在情况求相关参数的范围，是高考中常见的题目类型，尤其是与导数问题相关的题型，如例1中求参数 的取值范围，解决由函数零点（方程根）的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解。

（三）规律总结，方法提炼

1．方程的根（从数的角度看）、函数图象与 轴的交点的横坐标（从形的角度看）、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式．

2．函数零点的判断：

（1）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；

（2）利用函数零点的存在性定理进行判断；

（3）通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

3．对于在 上的连续函数 ，若 是 的零点，不一定有 ，即 仅是 在 上存在零点的充分条件，而不是必要条件．

4．有关函数零点的重要结论：

（1）若连续不断的函数 在定义域上是单调函数，则 至多有一个零点．

（2）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

（3）连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变．

【设计意图】小结是一堂课内容的概括和总结，是必不可少的一个环节，有利于使学生把握本节所学的重要内容，让学生总结，可以检查学生的收获情况；还可以更进一步培养学生的归纳总结能力，而这种能力对学生的高中学习是极其重要的。

（四）作业布置

1．整理本节课的例题；

2．全品高考复习方案，课时作业（十）。

【设计意图】作业是学生学习信息的反馈，也是师生互动的一种方式，教师可以发现和弥补教学中的不足，学生也可以找到自身的问题并及时纠正，实现“学数学用数学”，在学用中体验成功的喜悦。