3.2.2 函数模型的应用实例
2016-06-07 20:17:36   来源：   评论：0 点击：

师:前面我们学习了几类不同增长的函数模型:线性函数模型(匀速增长),指数函数模型(爆炸式增长),对数函数模型(平缓增长)。也学习了应用已知的函数模型解决问题,但面临实际问题时,我们还需要自己建立函数模型来解决问题。今天这节课,我很高兴和大家一起探讨这个内容。请看例题。

      我们男生比较关心自己的身高,女生比较关心自己的体重,下面我们就看一道与我们自己切身相关的问题。

      例2(课本P105的例6)某地区不同身高(单位:cm)的未成年男性的体重(单位:kg)平均值如下表:

      身高 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

      体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 70.64 

      问题1:根据上表提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y(kg)与身高x(cm)的函数关系?试写出这个函数模型的解析式。 

      教材处理1:我在课本的基础上加了一组身高为180cm的这组数据,一是符合实际情况,二是可以更好的拟合指数型函数,增加它与二次函数的区分度,便于学生观察。

      师:本题要解决的问题是什么? 

     生1:是建立恰当的函数模型来近似地反映体重和身高的函数关系。

     师:利用前面所学的建立函数模型的方法容易完成吗? 

     生2:不容易,因为这些数据不是很规则,较难发现它们的规律。

     师:我们还是观察表格中的数据,看看是否可以获得什么信息?(体重随身高的变化而变化) 怎样更直观的将这组数据中蕴涵的变化趋势表示出来呢?

      生3:将这组数据转化为坐标系中的点,从图象上来观察他们的规律。 下面就按照大家的想法,以身高为横轴、体重为纵轴,画出这些数据的散点图,从直观上来感受函数模型。大家自己动手画出散点图。

      1. 作出散点图(以身高为横轴,体重为纵轴) (学生自己动手描点,老师再用Excel软件演示) 师:将这些散点连成线,是一条向上弯曲的曲线,它像我们学过的哪些增长函数模型的图象?(二次函数,指数函数)

     2.选择函数模型 师:根据散点连线的特征,可以考虑用二次函数 ,或者指数型函数y=a b 作为刻画这个问题的函数模型。如何求出这些函数的解析式呢?用什么方法?(待定系数法)。 

     3.确定函数模型 师:下面,同学们根据自己设想的增长函数模型,采用待定系数法求解函数解析式。(学生分组合作,选取不同的数据,计算出函数解析式) 对于指数型函数y=a b :将其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25),代入y=a b 得: ,用计算器算得: (如果学生用计算器计算指数不是很清楚的话,老师可以演示一下计算器的使用) 这样,我们就得到了指数型函数模型:y=2 对于二次函数模型 : 取其中的前三组数据:(60,6.13),(70,7.90),(80,9.99),代入表达式,经过计算,可得二次函数模型: 

     教材处理2:课本上没有考虑二次函数,但在实际教学中,学生根据散点图,最容易想到的就是二次函数,所以,为了符合学生的思维习惯,顺应学生的要求,体现数学建模的自然性,我在教学中还是考虑了二次函数。

      师:如果选取的数据不一样, 比如选(60,6.13),(70,7.90),得到的解析式可能不一样,但是它们的差别应该不是很大,同学们可以课后自己继续探究。

       师:两个函数模型的解析式都算出来了,哪个刻画该问题的更好些呢?我们应该如何筛选?我们选择的标准是:让尽量多的点在曲线上或者附近。 

       生4:我们可以用所求的函数解析式检验其它数据的吻合程度,也可以通过作函数图象直观的观察。

     师:同学们通过计算器计算所求函数解析式与其它数据的吻合程度,比较哪个函数更好些。 (学生计算,老师巡视,发现问题,及时指导)     

     师:通过计算器,我们是可以比较两个函数模型的优劣,但是比较麻烦。我们也可以通过作函数的图象来直观形象的观察,下面我用《几何画板》的作图功能给大家演示一下。(函数图象对比图如下) 通过函数图象对比,指数型函数是更优的就一目了然了。 

    师:其实为了得到更精确的函数模型,简化解题程序,避开复杂的计算,我们可以通过计算机的拟合功能,一步到位得到指数型函数模型。下面利用Excel软件确定拟合函数。(老师用多媒体演示,拟合函数对比图如下)

     师:通过筛选,我们确定该题的函数模型为指数型函数模型:y=2 ,那这个函数模型与其它的点拟合的情况如何?我们如何检验? 

      4.检验函数模型 

     ①将已知数据代入上述函数解析式进行检验。 如:取x=100,则y=2×1.02 =14.4892,与表格中的数据15.02是非常接近的。 

     ②作出函数图象检验(老师通过几何画板作图演示) 如果是采用计算机的拟合功能得到的函数模型,那么这一步骤就可以省略了。

     师:通过检验,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它可以较好的反映这个地区未成年男性体重与身高的关系。这个函数模型是符合实际的,我们可以用它解决一些实际问题,请看问题2: 问题2:若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm,,体重为78kg的在校男生的体重是否正常? 师:如何解决这个问题(学生回答) 将 代入y=2 ,得 ,由计算器得y≈63.98 由于78÷63.98≈1.22>1.2,所以这个男生偏胖。

      (师)探究:结合上例,你自己可以总结出建立函数模型解决实际问题的基本过程吗?(学生归纳) 符合 实际 。

课本P107的习题A组1

师:这节课,我们共同探讨了什么内容?你可以小结一下吗? 通过本节课的学习,我们掌握了建立函数模型求解问题的一般解题步骤,进一步了解了函数模型的实际应用。

课本P107的习题B组1